La matemática de la vida

¿Cuantas veces nos hemos puesto a pensar que todo sigue un patrón?, la conformación de nuestro entorno definido por un conjunto de reglas simples que no producen el resultado esperado o que recursivamente se replican.

Ejemplos diversos, podemos observar los girasoles siguiendo la serie de Fibonacci.
¿Sucesión de Fibonacci?, exacto, se le denomina asi por su autor a la sucesión infinita de números naturales:
0,1,1,2,3,5,8...

La definición de la sucesión de fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones:
f0=0; f1=1; fn=fn-1 +fn-2 para n=2,3,4,5,....
Definen la relación de recurrencia, es así que la sucesión es
fn+2 -fn+1 -fn=0

Los números de fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Algunas de sus propiedades:
Cualquier numero natural se puede escrbir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás.
Tan sólo un término de cada 3 es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada 5 es múltiplo de 5, etc.

También es algo común poder observar  a los fractales, veamos un poco sobre los fractales.
Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o regular se repite a diferentes escalas, término propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus que significa quebrado o fracturado. A este tipo de objeto se le atribuyen las siguientes características:
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Posee detalle a cualquier escala de observación
Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística)

Se define mediante un simple algortimo recursivo

 Ahora bien, los fractales son elementos que los observamos en el dia a dia sin embargo no le hemos prestado atención. Este tipo de fractales se les denomina fractal natural (que puede ser descrito mediante la geometría fractal). Las nuebes, montañas, el sistema circulatorio incluso los copos de nieve.
Los que son objeto de este post son los denominados Conjunto de Julia.

Conjunto de Julia

Llamados así por el matemático Gaston Julia, son un conjunto de fractales o familia que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa. El conjunto de Julia de una función holomorfa f está constituido por aquellos puntos que bajo la iteración de f tienen un comportamient "caótico". El conjunto se denota J(f).
Una familia muy notable de conjunto de julia se obtienen a partir de funciones cuadráticas simples fc(z)= z^2 +c, de donde c es un número complejo.
Un algoritmo para obtener el conjunto de Julia de fc(z)=z^2 +c es el siguiente:
Para todo complejo z se construye por la siguiente sucesión
z0=0

zn+1=zn^2 +c
Si esta sucesión queda acotada entonces se dice que z pertenece al conjunto de Julia de parámetro c, denotado por Jc; de lo contrario z queda excluido de éste.